Lời giải:
$4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0$

$(4x^2+y^2+z^2-4xy-4xz+2yz)+y^2+z^2-6y-10z+34=0$

$(2x-y-z)^2+(y^2-6y+9)+(z^2-10z+25)=0$
$(2x-y-z)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=0$

Vì $(2x-y-z)^2\geq 0; (y-3)^2\geq 0; (z-5)^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì bản thân mỗi số đó bằng $0$

$\Rightarrow 2x-y-z=y-3=z-5=0$

$\Rightarrow y=3; z=5; x=4$

Khi đó:
$P=0^{2023}+(-1)^{2025}+(5-4)^{2027}=0$

4x² + 2y² + 2z² - 4xy + 2yz - 4xz - 6y - 10z + 34 = 0

<=> [ ( 4x² - 4xy + y² ) - 4xz + 2yz + z² ] + ( y² - 6y + 9 ) + ( z² - 10z + 25 ) = 0

<=> [ ( 2x - y )² - 2( 2x - y )z + z² ] + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

<=> ( 2x - y - z )² + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

\(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\\\left(y-3\right)^2\\\left(z-5\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z\Rightarrow\left(2x-y-z\right)+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)

Thế vào S ta được :

S = ( x - 4 )²⁰²⁰ + ( y - 3 )²⁰²⁰ + ( z - 5 )²⁰²⁰

    = ( 4 - 4 )²⁰²⁰ + ( 3 - 3 )²⁰²⁰ + ( 5 - 5 )²⁰²⁰

    = 0 + 0 + 0

    = 0

to moi hoc lop 5 thoi 

Ta có:

\(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z=-34\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4x^2-\left(4xy+4xz\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(z^2-10z+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4x^2-4x\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0\)

Mặt khác, ta lại có:  \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2\ge0;\)  \(\left(y-3\right)^2\ge0\)  và  \(\left(z-5\right)^2\ge0\)  với mọi  \(x;\)  \(y;\)  \(z\)

nên  \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)

Do đó,  dấu  \(''=''\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)   \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2=0;\)  \(\left(y-3\right)^2=0\)  và  \(\left(z-5\right)^2=0\)

                                           \(\Leftrightarrow\)   \(2x-\left(y+z\right)=0;\)  \(y-3=0\)  và  \(z-5=0\)

                                           \(\Leftrightarrow\)   \(x=\frac{y+z}{2};\)  \(y=3\)  và  \(z=5\)

Khi đó,  \(x=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4\)

Thay các giá trị trên của các biến  \(x;\)  \(y;\)  \(z\)  lần lượt vào  biểu thức  \(Q\), ta được:

\(Q=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}=2\)

Ta có : \(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(4x^2+y^2+z^2-4xy-4xz+2yz\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(z^2-10z+25\right)=0\)

   \(\Leftrightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0\)

Do \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\ge0\\\left(y-3\right)^2\ge0\\\left(z-5\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow VT\ge0}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y+z\\y=3\\z=5\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}}\)

Khi đó \(P=\left(4-4\right)^{2018}+\left(3-4\right)^{2018}+\left(5-4\right)^{2018}\)

               \(=0+\left(-1\right)^{2018}+1^{2018}\)

               \(=2\)

Ta có : \(4x^2+2y^2+2z^2-4xy+2yz-6y-10z+34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+y^2+z^2-4xy-4xz+2yz\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(z^2-10z+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z-2x\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+z-2x=0\\y=3\\z=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)

Suy ra \(M=2\)

Ta có : 4x^2+2y^2+2z^2-4xy+2yz-6y-10z+34=04x2+2y2+2z2−4xy+2yz−6y−10z+34=0

\Leftrightarrow\left(4x^2+y^2+z^2-4xy-4xz+2yz\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(z^2-10z+25\right)=0⇔(4x2+y2+z2−4xy−4xz+2yz)+(y2−6y+9)+(z2−10z+25)=0

\Leftrightarrow\left(y+z-2x\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0⇔(y+z−2x)2+(y−3)2+(z−5)2=0

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+z-2x=0\\y=3\\z=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)

Suy ra M=2M=2